ZASTOSOWANIE METODY POCHODNEJ TOPOLOGICZNEJ W ELEKTRYCZNEJ TOMOGRAFII IMPEDANCYJNEJ
Andrey Ferreira
andreydf@lncc.brLaboratório Nacional de Computação Científica LNCC/MCT, Coordenação de Matemática Aplicada e Computacional, (Brazylia)
Antonio Novotny
Laboratório Nacional de Computação Científica LNCC/MCT, Coordenação de Matemática Aplicada e Computacional (Brazylia)
Jan Sokołowski
Université de Lorraine, CNRS, INRIA, Institute Élie Cartan Nancy (Francja)
Abstrakt
W dziedzinie optymalizacji kształtu i topologii zaproponowano nową koncepcję pochodnej topologicznej danego funkcjonału kształtu. Zastosowano asymptotyczną analizę w celu określenia pochodnej topologicznej funkcjonału kształtu dla zagadnień eliptycznych. Pochodna Topologiczna – PT (ang. the topological derivative – TD) jest miarą wpływu wtrącenia w postaci małego defektu na funkcjonał kształtu w badanym obszarze dla eliptycznego zagadnienia brzegowego. Obszar z małym defektem traktowany jest jako obszar zaburzony przez zmiany topologii. Oznacza to, że dana pochodna topologiczna stanowi aproksymację pierwszego rzędu ze względu na mały parametr, który określa objętość defektu dla obliczanego funkcjonału kształtu w zaburzonym obszarze. PT jest funkcją zdefiniowaną w obszarze niezaburzonym, który może być wyznaczony na podstawie znajomości rozwiązania zagadnienia brzegowego w tym (niezaburzonym) obszarze. Oznacza to że PT może być wyznaczona poprzez rozwiązanie zagadnienia brzegowego w obszarze niezaburzonym. Można rozważyć pierwszego jak również drugiego rzędu pochodną topologiczną, zapewniającą aproksymację funkcjonału kształtu ze znacznie lepszą precyzją w porównaniu do PT pierwszego rzędu rozwinięcia w obszarze zaburzonym. W niniejszej pracy PT jest zastosowana w kontekście Elektrycznej Tomografii Impedancyjnej (ETI). W szczególności jesteśmy zainteresowani w rekonstrukcji pewnej liczby anomalii wewnątrz obszaru, na podstawie pomiarów potencjału na brzegu rozpatrywanego obszaru. Podstawowa idea zawarta jest w minimalizacji funkcjonału, będącego miarą niedopasowania między pomiarami potencjału na brzegu obszaru a potencjałem elektrycznym uzyskanym na podstawie modelu matematycznego uwzględniającego zbiór anomalii o kształcie kuli. Zastosowanie pierwszego i drugiego rzędu pochodnej topologicznej prowadzi do nieiteracyjnego algorytmu rekonstrukcyjnego drugiego rzędu. W zakończeniu artykułu przedstawiono eksperyment numeryczny, wykazujący, że zaproponowany algorytm obrazowania jest bardzo odporny na zaszumione dane pomiarowe.
Słowa kluczowe:
tomografia impedancyjna, zagadnienia odwrotne, pochodna topologicznaBibliografia
Allaire G., de Gournay F., Jouve F., Toader A.M.: Structural optimization using topological and shape sensitivity via a level set method. Control and Cybernetics 34(1), 2005, 59–80.
Google Scholar
Allaire G., Jouve F., Van Goethem N.: Damage and fracture evolution in brittle materials by shape optimization methods. Journal of Computational Physics 230(12), 2011, 5010–5044.
Google Scholar
Ammari H., Garnier J., Jugnon V., Kang H.: Stability and resolution analysis for a topological derivative based imaging functional. SIAM Journal on Control and Optimization 50(1), 2012, 48–76.
Google Scholar
Ammari H., Kang H.: High-order terms in the asymptotic expansions of the steady-state voltage potentials in the presence of inhomogeneities of small diameter. SIAM Journal on Mathematical Analysis 34(5), 2003, 1152–1166.
Google Scholar
Ammari H., Kang H.: Reconstruction of small inhomogeneities from boundary measurements. Lectures Notes in Mathematics vol. 1846. Springer-Verlag, Berlin 2004.
Google Scholar
Amstutz S.: Sensitivity analysis with respect to a local perturbation of the material property. Asymptotic Analysis 49(1–2), 2006, 87–108.
Google Scholar
Amstutz S.: A penalty method for topology optimization subject to a pointwise state constraint. ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 16(3), 2010, 523–544.
Google Scholar
Amstutz S., Andrä H.: A new algorithm for topology optimization using a level-set method. Journal of Computational Physics 216(2), 2006, 573–588.
Google Scholar
Amstutz S., Giusti S.M., Novotny A.A., de Souza Neto E.A.: Topological derivative for multiscale linear elasticity models applied to the synthesis of microstructures. International Journal for Numerical Methods in Engineering 84, 2010, 733–756.
Google Scholar
Amstutz S., Horchani I., Masmoudi M.: Crack detection by the topological gradient method. Control and Cybernetics 34(1), 2005, 81–101.
Google Scholar
Amstutz S., Novotny A.A.: Topological optimization of structures subject to von Mises stress constraints. Structural and Multidisciplinary Optimization 41(3), 2010, 407–420.
Google Scholar
Amstutz S., Novotny A.A., de Souza Neto E.A.: Topological derivative-based topology optimization of structures subject to Drucker-Prager stress constraints. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 233–236, 2012, 123–136 [DOI: 10.1016/j.cma.2012.04.004].
Google Scholar
Auroux D., Masmoudi M., Belaid L.: Image restoration and classification by topological asymptotic expansion. Variational formulations in mechanics: theory and applications. Spain, Barcelona 2007.
Google Scholar
Belaid L.J., Jaoua M., Masmoudi M., Siala L.: Application of the topological gradient to image restoration and edge detection. Engineering Analysis with Boundary Elements 32, 2008, 891–899.
Google Scholar
Bojczuk D., Mróz Z.: Topological sensitivity derivative and finite topology modications: application to optimization of plates in bending. Structural and Multidisciplinary Optimization 39, 2009, 1–15.
Google Scholar
Bonnet M.: Higher-order topological sensitivity for 2-D potential problems. International Journal of Solids and Structures 46(11–12), 2009, 2275–2292.
Google Scholar
Burger M., Hackl B., Ring W.: Incorporating topological derivatives into level set methods. Journal of Computational Physics 194(1), 2004, 344–362.
Google Scholar
Calderón A.P.: On an inverse boundary value problem. Computational and Applied Mathematics 25(2–3), 2006. Reprinted from the Seminar on Numerical Analysis and its Applications to Continuum Physics, Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, 1980.
Google Scholar
Canelas A., Laurain A., Novotny A.A.: A new reconstruction method for the inverse potential problem. Journal of Computational Physics 268, 2014, 417–431.
Google Scholar
Canelas A., Laurain A., Novotny A.A.: A new reconstruction method for the inverse source problem from partial boundary measurements. Inverse Problems 31(7), 2015, 075009.
Google Scholar
Canelas A., Novotny A.A., Roche J.R.: A new method for inverse electromagnetic casting problems based on the topological derivative. Journal of Computational Physics 230, 2011, 3570–3588.
Google Scholar
de Faria J.R., Novotny A.A.: On the second order topological asymptotic expansion. Structural and Multidisciplinary Optimization 39(6), 2009, 547–555.
Google Scholar
Feijóo G.R.: A new method in inverse scattering based on the topological derivative. Inverse Problems 20(6), 2004, 1819–1840.
Google Scholar
Feijáo R.A., Novotny A.A., Taroco E., Padra C.: The topological derivative for the Poisson's problem. Mathematical Models and Methods in Applied Sciences 13(12), 2003, 1825–1844.
Google Scholar
Garreau S., Guillaume Ph., Masmoudi M.: The topological asymptotic for PDE systems: the elasticity case. SIAM Journal on Control and Optimization 39(6), 2001, 1756–1778.
Google Scholar
Giusti S.M., Novotny A.A., de Souza Neto E.A.: Sensitivity of the macroscopic response of elastic microstructures to the insertion of inclusions. Proceeding of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences 466, 2010, 1703–1723.
Google Scholar
Giusti S.M., Novotny A.A., de Souza Neto E.A., Feijóo R.A.: Sensitivity of the macroscopic elasticity tensor to topological microstructural changes. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 57(3), 2009, 555–570.
Google Scholar
Giusti S.M., Novotny A.A., de Souza Neto E.A., Feijóo R.A.: Sensitivity of the macroscopic thermal conductivity tensor to topological microstructural changes. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 198(5–8), 2009, 727–739, [DOI: 10.1016/j.cma.2008.10.005].
Google Scholar
Giusti S.M., Novotny A.A., Sokołowski J.: Topological derivative for steady-state orthotropic heat diffusion problem. Structural and Multidisciplinary Optimization 40(1), 2010, 53–64.
Google Scholar
Guzina B.B., Bonnet M.: Small-inclusion asymptotic of misfit functionals for inverse problems in acoustics. Inverse Problems 22(5), 2006, 1761–1785.
Google Scholar
Hintermüller M.: Fast level set based algorithms using shape and topological sensitivity. Control and Cybernetics 34(1), 2005, 305–324.
Google Scholar
Hintermüller M., Laurain A.: Electrical impedance tomography: from topology to shape. Control and Cybernetics 37(4), 2008, 913–933.
Google Scholar
Hintermüller M., Laurain A.: Multiphase image segmentation and modulation recovery based on shape and topological sensitivity. Journal of Mathematical Imaging and Vision 35, 2009, 1–22.
Google Scholar
Hintermüller M., Laurain A., Novotny A.A.: Second-order topological expansion for electrical impedance tomography. Advances in Computational Mathematics 36(2), 2012, 235–265.
Google Scholar
Hlaváček I., Novotny A.A., Sokołowski J., Żochowski A.: On topological derivatives for elastic solids with uncertain input data. Journal of Optimization Theory and Applications 141(3), 2009, 569–595.
Google Scholar
Jackowska-Strumiłło L., Sokołowski J., Żochowski A., Henrot A.: On numerical solution of shape inverse problems. Computational Optimization and Applications 23(2), 2002, 231–255.
Google Scholar
Khludnev A.M., Novotny A.A., Sokołowski J., Żochowski A.: Shape and topology sensitivity analysis for cracks in elastic bodies on boundaries of rigid inclusions. Journal of the Mechanics and Physics of Solids 57(10), 2009, 1718–1732.
Google Scholar
Kobelev V.: Bubble-and-grain method and criteria for optimal positioning inhomogeneities in topological optimization. Structural and Multidisciplinary Optimization 40(1–6), 2010, 117–135.
Google Scholar
Larrabide I., Feijóo R.A., Novotny A.A., Taroco E.: Topological derivative: a tool for image processing. Computers & Structures 86(13–14), 2008, 1386–1403.
Google Scholar
Leugering G., Sokołowski J.: Topological derivatives for elliptic problems on graphs. Control and Cybernetics 37, 2008, 971–998.
Google Scholar
Lewinski T., Sokołowski J.: Energy change due to the appearance of cavities in elastic solids. International Journal of Solids and Structures 40(7), 2003, 1765–1803.
Google Scholar
Masmoudi M., Pommier J., Samet B.: The topological asymptotic expansion for the Maxwell equations and some applications. Inverse Problems 21(2), 2005, 547–564.
Google Scholar
Nazarov S.A., Sokołowski J.: Asymptotic analysis of shape functionals. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 82(2), 2003, 125–196.
Google Scholar
Nazarov S.A., Sokołowski J.: Self-adjoint extensions of differential operators in application to shape optimization. Comptes Rendus Mecanique 331, 2003, 667–672.
Google Scholar
Nazarov S.A., Sokołowski J.: Singular perturbations in shape optimization for the Dirichlet Laplacian. Comptes rendus - Mécanique 333(4), 2005, 305–310.
Google Scholar
Nazarov S.A., Sokołowski J.: Self-adjoint extensions for the Neumann laplacian and applications. Acta Mathematica Sinica (English Series) 22(3), 2006, 879–906.
Google Scholar
Nazarov S.A., Sokołowski J.: On asymptotic analysis of spectral problems in elasticity. Latin American Journal of Solids and Structures 8, 2011, 27–54.
Google Scholar
Novotny A.A., Feijóo R.A., Padra C., Taroco E.: Topological sensitivity analysis. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 192(7–8), 2003, 803–829.
Google Scholar
Novotny A.A., Feijóo R.A., Padra C., Taroco E.: Topological derivative for linear elastic plate bending problems. Control and Cybernetics 34(1), 2005, 339–361.
Google Scholar
Novotny A.A., Feijóo R.A., Taroco E., Padra C.: Topological sensitivity analysis for three dimensional linear elasticity problem. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 196(41–44), 2007, 4354–4364.
Google Scholar
Novotny A.A., Sokołowski J.: Topological derivatives in shape optimization. Interaction of Mechanics and Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2013.
Google Scholar
Novotny A.A., Sokołowski J., de Souza Neto E.A.: Topological sensitivity analysis of a multiscale constitutive model considering a cracked microstructure. Mathematical Methods in the Applied Sciences 33(5), 2010, 676–686.
Google Scholar
Sankowski D., Sikora J.: Electrical Capacitance Tomography: Theoretical Basis and Applications. Electrotechnical Institute, Poland, Miedzylesie 2010.
Google Scholar
Sikora J.: Boundary Element Method for Impedance and Optical Tomography. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Poland, Warsaw 2007.
Google Scholar
Sikora J., Wójtowicz S.: Industrial and Biological Tomography: Theoretical Basis and Applications. Electrotechnical Institute, Poland, Miedzylesie 2010.
Google Scholar
Sokołowski J., Żochowski A.: On the topological derivative in shape optimization. SIAM Journal on Control and Optimization 37(4), 1999, 1251–1272.
Google Scholar
Sokołowski J., Żochowski A.: Optimality conditions for simultaneous topology and shape optimization. SIAM Journal on Control and Optimization 42(4), 2003, 1198–1221.
Google Scholar
Sokołowski J., Żochowski A.: Modelling of topological derivatives for contact problems. Numerische Mathematik 102(1), 2005, 145–179.
Google Scholar
Turevsky I., Gopalakrishnan S.H., Suresh K.: An ecient numerical method for computing the topological sensitivity of arbitrary-shaped features in plate bending. International Journal for Numerical Methods in Engineering 79(13), 2009, 1683–1702.
Google Scholar
Van Goethem N., Novotny A.A.: Crack nucleation sensitivity analysis. Mathematical Methods in the Applied Sciences 33(16), 2010, 1978–1994.
Google Scholar
Autorzy
Andrey Ferreiraandreydf@lncc.br
Laboratório Nacional de Computação Científica LNCC/MCT, Coordenação de Matemática Aplicada e Computacional, Brazylia
Autorzy
Antonio NovotnyLaboratório Nacional de Computação Científica LNCC/MCT, Coordenação de Matemática Aplicada e Computacional Brazylia
Autorzy
Jan SokołowskiUniversité de Lorraine, CNRS, INRIA, Institute Élie Cartan Nancy Francja
Statystyki
Abstract views: 208PDF downloads: 88
Licencja
Utwór dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa – Na tych samych warunkach 4.0 Miedzynarodowe.