OKRESOWE FUNKCJE ATEB I METODA VAN DER POLA DO KONSTRUOWANIA ROZWIĄZAŃ DWUWYMIAROWYCH NIELINIOWYCH MODELI OSCYLACJI CIAŁ SPRĘŻYSTYCH

W procesie eksploatacji, najprostsze elementy (zwane dalej ciałami sprężystymi) maszyn i mechanizmów pod wpływem czynników zewnętrznych i wewnętrznych wykonują złożone oscylacje – wzdłużne, zginające i skręcające w różnych kombinacjach. Ogólnie rzecz biorąc, modele matematyczne procesu takich złożonych zjawisk w ciałach sprężystych, nawet dla jednowymiarowych modeli obliczeniowych, są problemami wartości brzegowych dla układów równań różniczkowych cząstkowych. Rozważany jest dwuwymiarowy model matematyczny procesów oscylacyjnych w nieliniowym ciele sprężystym. Zaproponowano metodę konstruowania analitycznego rozwiązania odpowiednich problemów wartości brzegowych dla nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, która opiera się na wykorzystaniu funkcji Ateba, metody van der Pola, idei całkowania asymptotycznego oraz zasady oscylacji jednoczęstotliwościowych. Dla „niezaburzonych” analogów równań modelu uzyskano rozwiązania jednoczęstotliwościowe w postaci jawnej, a dla „zaburzonych” – analityczne zależności podstawowych parametrów procesu oscylacji od niewielkiej perturbacji. Ustalono zależność głównej częstotliwości oscylacji od amplitudy i parametru nieliniowości właściwości sprężystych w przypadku jednoczęstotliwościowych oscylacji „ruchu niezaburzonego”. Skonstruowano asymptotyczne przybliżenie rozwiązania autonomicznego problemu „zaburzonego”. Podano wykresy zmian amplitudy i częstotliwości oscylacji w zależności od wartości parametrów układu.